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首先秉持着实事求是的精神，我们先来验证一下：

In [33]: %timeit 1073741825*2                                                                                                                                                                                                                                                                            7.47 ns ± 0.0843 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each)  In [34]: %timeit 1073741825<<1                                                                                                                                                                                                                                                                           7.43 ns ± 0.0451 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each)  In [35]: %timeit 1073741823<<1                                                                                                                                                                                                                                                                           7.48 ns ± 0.0621 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each)  In [37]: %timeit 1073741823*2                                                                                                                                                                                                                                                                            7.47 ns ± 0.0564 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000000 loops each)

我们发现几个很有趣的现象：

• 在值 x<=2^30 时，乘法比直接位运算要快

• 在值 x>2^32 时，乘法显著慢于位运算

这个现象很有趣，那么这个现象的 root cause 是什么?实际上这和 Python 底层的实现有关。

简单聊聊

1. PyLongObject 的实现

在 Python 2.x 时期，Python 中将整型分为两类，一类是 long, 一类是 int 。在 Python3 中这两者进行了合并。目前在  Python3 中这两者做了合并，仅剩一个 long。

首先来看看 long 这样一个数据结构底层的实现：

struct _longobject {     PyObject_VAR_HEAD     digit ob_digit[1]; };

在这里不用关心，PyObject_VAR_HEAD 的含义，我们只需要关心 ob_digit 即可。

在这里，ob_digit 是使用了 C99 中的“柔性数组”来实现任意长度的整数的存储。这里我们可以看一下官方代码中的文档：

Long integer representation.The absolute value of a number is equal to  SUM(for i=0 through abs(ob_size)-1) ob_digit[i] * 2**(SHIFT*i) Negative numbers  are represented with ob_size < 0; zero is represented by ob_size == 0. In a  normalized number, ob_digit[abs(ob_size)-1] (the most significant digit) is  never zero. Also, in all cases, for all valid i,0 <= ob_digit[i] <= MASK.  The allocation function takes care of allocating extra memory so that  ob_digit[0] ... ob_digit[abs(ob_size)-1] are actually available. CAUTION:  Generic code manipulating subtypes of PyVarObject has to aware that ints abuse  ob_size's sign bit.

简而言之，Python 是将一个十进制数转为 2^(SHIFT) 进制数来进行存储。这里可能不太好了理解。我来举个例子，在我的电脑上，SHIFT 为 30  ，假设现在有整数 1152921506754330628 ，那么将其转为 2^30 进制表示则为:  4*(2^30)^0+2*(2^30)^1+1*(2^30)^2 。那么此时 ob_digit 是一个含有三个元素的数组，其值为 [4,2,1]。

OK，在明白了这样一些基础知识后，我们回过头去看看 Python 中的乘法运算。

2. Python 中的乘法运算

Python 中的乘法运算，分为两部分，其中关于大数的乘法，Python 使用了 Karatsuba 算法1，具体实现如下：

static PyLongObject * k_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b) {     Py_ssize_t asize = Py_ABS(Py_SIZE(a));     Py_ssize_t bsize = Py_ABS(Py_SIZE(b));     PyLongObject *ah = NULL;     PyLongObject *al = NULL;     PyLongObject *bh = NULL;     PyLongObject *bl = NULL;     PyLongObject *ret = NULL;     PyLongObject *t1, *t2, *t3;     Py_ssize_t shift;           /* the number of digits we split off */     Py_ssize_t i;      /* (ah*X+al)(bh*X+bl) = ah*bh*X*X + (ah*bl + al*bh)*X + al*bl      * Let k = (ah+al)*(bh+bl) = ah*bl + al*bh  + ah*bh + al*bl      * Then the original product is      *     ah*bh*X*X + (k - ah*bh - al*bl)*X + al*bl      * By picking X to be a power of 2, "*X" is just shifting, and it's      * been reduced to 3 multiplies on numbers half the size.      */      /* We want to split based on the larger number; fiddle so that b      * is largest.      */     if (asize > bsize) {         t1 = a;         a = b;         b = t1;          i = asize;         asize = bsize;         bsize = i;     }      /* Use gradeschool math when either number is too small. */     i = a == b ? KARATSUBA_SQUARE_CUTOFF : KARATSUBA_CUTOFF;     if (asize <= i) {         if (asize == 0)             return (PyLongObject *)PyLong_FromLong(0);         else             return x_mul(a, b);     }      /* If a is small compared to b, splitting on b gives a degenerate      * case with ah==0, and Karatsuba may be (even much) less efficient      * than "grade school" then.  However, we can still win, by viewing      * b as a string of "big digits", each of width a->ob_size.  That      * leads to a sequence of balanced calls to k_mul.      */     if (2 * asize <= bsize)         return k_lopsided_mul(a, b);      /* Split a & b into hi & lo pieces. */     shift = bsize >> 1;     if (kmul_split(a, shift, &ah, &al) < 0) goto fail;     assert(Py_SIZE(ah) > 0);            /* the split isn't degenerate */      if (a == b) {         bh = ah;         bl = al;         Py_INCREF(bh);         Py_INCREF(bl);     }     else if (kmul_split(b, shift, &bh, &bl) < 0) goto fail;      /* The plan:      * 1. Allocate result space (asize + bsize digits:  that's always      *    enough).      * 2. Compute ah*bh, and copy into result at 2*shift.      * 3. Compute al*bl, and copy into result at 0.  Note that this      *    can't overlap with #2.      * 4. Subtract al*bl from the result, starting at shift.  This may      *    underflow (borrow out of the high digit), but we don't care:      *    we're effectively doing unsigned arithmetic mod      *    BASE**(sizea + sizeb), and so long as the *final* result fits,      *    borrows and carries out of the high digit can be ignored.      * 5. Subtract ah*bh from the result, starting at shift.      * 6. Compute (ah+al)*(bh+bl), and add it into the result starting      *    at shift.      */      /* 1. Allocate result space. */     ret = _PyLong_New(asize + bsize);     if (ret == NULL) goto fail; #ifdef Py_DEBUG     /* Fill with trash, to catch reference to uninitialized digits. */     memset(ret->ob_digit, 0xDF, Py_SIZE(ret) * sizeof(digit)); #endif      /* 2. t1 <- ah*bh, and copy into high digits of result. */     if ((t1 = k_mul(ah, bh)) == NULL) goto fail;     assert(Py_SIZE(t1) >= 0);     assert(2*shift + Py_SIZE(t1) <= Py_SIZE(ret));     memcpy(ret->ob_digit + 2*shift, t1->ob_digit,            Py_SIZE(t1) * sizeof(digit));      /* Zero-out the digits higher than the ah*bh copy. */     i = Py_SIZE(ret) - 2*shift - Py_SIZE(t1);     if (i)         memset(ret->ob_digit + 2*shift + Py_SIZE(t1), 0,                i * sizeof(digit));      /* 3. t2 <- al*bl, and copy into the low digits. */     if ((t2 = k_mul(al, bl)) == NULL) {         Py_DECREF(t1);         goto fail;     }     assert(Py_SIZE(t2) >= 0);     assert(Py_SIZE(t2) <= 2*shift); /* no overlap with high digits */     memcpy(ret->ob_digit, t2->ob_digit, Py_SIZE(t2) * sizeof(digit));      /* Zero out remaining digits. */     i = 2*shift - Py_SIZE(t2);          /* number of uninitialized digits */     if (i)         memset(ret->ob_digit + Py_SIZE(t2), 0, i * sizeof(digit));      /* 4 & 5. Subtract ah*bh (t1) and al*bl (t2).  We do al*bl first      * because it's fresher in cache.      */     i = Py_SIZE(ret) - shift;  /* # digits after shift */     (void)v_isub(ret->ob_digit + shift, i, t2->ob_digit, Py_SIZE(t2));     Py_DECREF(t2);      (void)v_isub(ret->ob_digit + shift, i, t1->ob_digit, Py_SIZE(t1));     Py_DECREF(t1);      /* 6. t3 <- (ah+al)(bh+bl), and add into result. */     if ((t1 = x_add(ah, al)) == NULL) goto fail;     Py_DECREF(ah);     Py_DECREF(al);     ah = al = NULL;      if (a == b) {         t2 = t1;         Py_INCREF(t2);     }     else if ((t2 = x_add(bh, bl)) == NULL) {         Py_DECREF(t1);         goto fail;     }     Py_DECREF(bh);     Py_DECREF(bl);     bh = bl = NULL;      t3 = k_mul(t1, t2);     Py_DECREF(t1);     Py_DECREF(t2);     if (t3 == NULL) goto fail;     assert(Py_SIZE(t3) >= 0);      /* Add t3.  It's not obvious why we can't run out of room here.      * See the (*) comment after this function.      */     (void)v_iadd(ret->ob_digit + shift, i, t3->ob_digit, Py_SIZE(t3));     Py_DECREF(t3);      return long_normalize(ret);    fail:     Py_XDECREF(ret);     Py_XDECREF(ah);     Py_XDECREF(al);     Py_XDECREF(bh);     Py_XDECREF(bl);     return NULL; }

这里不对 Karatsuba 算法1 的实现做单独解释，有兴趣的朋友可以参考文末的 reference 去了解具体的详情。

在普通情况下，普通乘法的时间复杂度为 n^2 (n 为位数)，而 K 算法的时间复杂度为 3n^(log3) ≈ 3n^1.585 ，看起来 K  算法的性能要优于普通乘法，那么为什么 Python 不全部使用 K 算法呢?

很简单，K 算法的优势实际上要在当 n 足够大的时候，才会对普通乘法形成优势。同时考虑到内存访问等因素，当 n 不够大时，实际上采用 K  算法的性能将差于直接进行乘法。

所以我们来看看 Python 中乘法的实现：

static PyObject * long_mul(PyLongObject *a, PyLongObject *b) {     PyLongObject *z;      CHECK_BINOP(a, b);      /* fast path for single-digit multiplication */     if (Py_ABS(Py_SIZE(a)) <= 1 && Py_ABS(Py_SIZE(b)) <= 1) {         stwodigits v = (stwodigits)(MEDIUM_VALUE(a)) * MEDIUM_VALUE(b);         return PyLong_FromLongLong((long long)v);     }      z = k_mul(a, b);     /* Negate if exactly one of the inputs is negative. */     if (((Py_SIZE(a) ^ Py_SIZE(b)) < 0) && z) {         _PyLong_Negate(&z);         if (z == NULL)             return NULL;     }     return (PyObject *)z; }

在这里我们看到，当两个数皆小于 2^30-1 时，Python 将直接使用普通乘法并返回，否则将使用 K 算法进行计算

这个时候，我们来看一下位运算的实现，以右移为例：

static PyObject * long_rshift(PyObject *a, PyObject *b) {     Py_ssize_t wordshift;     digit remshift;      CHECK_BINOP(a, b);      if (Py_SIZE(b) < 0) {         PyErr_SetString(PyExc_ValueError, "negative shift count");         return NULL;     }     if (Py_SIZE(a) == 0) {         return PyLong_FromLong(0);     }     if (divmod_shift(b, &wordshift, &remshift) < 0)         return NULL;     return long_rshift1((PyLongObject *)a, wordshift, remshift); }  static PyObject * long_rshift1(PyLongObject *a, Py_ssize_t wordshift, digit remshift) {     PyLongObject *z = NULL;     Py_ssize_t newsize, hishift, i, j;     digit lomask, himask;      if (Py_SIZE(a) < 0) {         /* Right shifting negative numbers is harder */         PyLongObject *a1, *a2;         a1 = (PyLongObject *) long_invert(a);         if (a1 == NULL)             return NULL;         a2 = (PyLongObject *) long_rshift1(a1, wordshift, remshift);         Py_DECREF(a1);         if (a2 == NULL)             return NULL;         z = (PyLongObject *) long_invert(a2);         Py_DECREF(a2);     }     else {         newsize = Py_SIZE(a) - wordshift;         if (newsize <= 0)             return PyLong_FromLong(0);         hishift = PyLong_SHIFT - remshift;         lomask = ((digit)1 << hishift) - 1;         himask = PyLong_MASK ^ lomask;         z = _PyLong_New(newsize);         if (z == NULL)             return NULL;         for (i = 0, j = wordshift; i < newsize; i++, j++) {             z->ob_digit[i] = (a->ob_digit[j] >> remshift) & lomask;             if (i+1 < newsize)                 z->ob_digit[i] |= (a->ob_digit[j+1] << hishift) & himask;         }         z = maybe_small_long(long_normalize(z));     }     return (PyObject *)z; }

到此，关于“有些时候Python中乘法比位运算更快的原因是什么”的学习就结束了，希望能够解决大家的疑惑。理论与实践的搭配能更好的帮助大家学习，快去试试吧！若想继续学习更多相关知识，请继续关注创新互联网站，小编会继续努力为大家带来更多实用的文章！

文章标题：有些时候Python中乘法比位运算更快的原因是什么
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