线代--单位矩阵与逆矩阵

单位矩阵的特点是对角线为1(行号等于列号的单元元素值为1 )，其它元素值为0, 是一个方阵，且有 ，当 矩阵的每个行向量与 矩阵的列向量进行乘的时候，由于 矩阵的行向量第 列才有值，所以相当于从 矩阵的列向量中提取第 个元素的值

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python的numpy 库初始化一个3*3单位矩阵 np.identity(n = 3)

当存在矩阵 与矩阵 相乘满足条件 ，则称 是矩阵 的逆，记作： 。可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆， 只有方阵才有逆 。

单位矩与逆矩阵的关系:

矩阵的负幂计算： ，这一类计算应用的很少。

python的numpy 对矩阵 求逆矩阵 ： invA = np.linalg.inv(A)

在矩阵系统中，大量的矩阵不存在逆矩阵，但总体而言，可逆矩阵在矩阵系统中还是居多的，只是相比不可逆矩阵而言少的多。

满足可逆条件的矩阵称为 可逆矩阵 ，也叫做 ，意思是这种矩阵是非常平凡的矩阵，正规的矩阵(regular-matrix)；而不可逆矩阵则称为 。

① 对矩阵 而言，若存在逆矩阵 则 唯一

② ， 矩阵的逆矩阵的逆还是 ;

反证法证明如下:

③

④ ，矩阵 的转置的逆等于 的逆的转置; 求证:

逆矩阵怎么求?

逆矩阵求法：

方法有很多如（伴随矩阵法，行（列）初等变换等）。以伴随矩阵法来求其逆矩阵。

1、判断题主给出的矩阵是否可逆。

2、求矩阵的代数余子式，A11、A12、A13、A21、A22、A32、A31、A32、A33。

3、求伴随矩阵。

4、得到逆矩阵。

相关性质

(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵。

(2)单位矩阵E是可逆的。

(3)零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E。

(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C。

用Python实现三阶矩阵的求逆？

你好，下面是一个对应的三阶矩阵求逆的代码

import warnings

warnings.filterwarnings("ignore")

matrix1 = [

[1,2,0,0],

[3,4,0,0],

[0,0,4,1],

[0,0,3,2],

]

matrix2 = [

[1,0,-1,2,1],

[3,2,-3,5,-3],

[2,2,1,4,-2],

[0,4,3,3,1],

[1,0,8,-11,4],

]

matrix3 = [

[1,0,-1,2,1,0,2],

[1,2,-1,3,1,-1,4],

[2,2,1,6,2,1,6],

[-1,4,1,4,0,0,0],

[4,0,-1,21,9,9,9],

[2,4,4,12,5,6,11],

[7,-1,-4,22,7,8,18],

]

def step0(m):

n = len(m)

l = []

for i in range(0,n):

l.append([])

for j in range(0,n):

if i == j:

l[i].append(1)

else:

l[i].append(0)

return l

def step1(m):

n = len(m)

"""交换操作记录数组 swap"""

swap = []

l = []

for i in range(0,n):

swap.append(i)

l.append([])

for j in range(0,n):

l[i].append(0)

"""对每一列进行操作"""

for i in range(0,n):

max_row = m[i][i]

row = i

for j in range(i,n):

if m[j][i] = max_row:

max_row = m[j][i]

#global row

row = j

swap[i] = row

"""交换"""

if row != i:

for j in range(0,n):

m[i][j],m[row][j] = m[row][j],m[i][j]

"""消元"""

for j in range(i+1,n):

if m[j][i] != 0:

l[j][i] = m[j][i] / m[i][i]

for k in range(0,n):

m[j][k] = m[j][k] - (l[j][i] * m[i][k])

return (swap,m,l)

def step2(m):

n = len(m)

long = len(m)-1

l = []

for i in range(0,n):

l.append([])

for j in range(0,n):

l[i].append(0)

for i in range(0,n-1):

for j in range(0,long-i):

if m[long-i-j-1][long-i] != 0 and m[long-i][long-i] != 0:

l[long-i-j-1][long-i] = m[long-i-j-1][long-i] / m[long-i][long-i]

for k in range(0,n):

m[long-i-j-1][k] = m[long-i-j-1][k] - l[long-i-j-1][long-i] * m[long-i][k]

return (m,l)

def step3(m):

n = len(m)

l = []

for i in range(0,n):

l.append(m[i][i])

return l

def gauss(matrix):

n = len(matrix)

new = step0(matrix)

(swap,matrix1,l1) = step1(matrix)

(matrix2,l2) = step2(matrix1)

l3 = step3(matrix2)

for i in range(0,n):

if swap[i] != i:

new[i],new[swap[i]] = new[swap[i]],new[i]

for j in range(i+1,n):

for k in range(0,n):

if l1[j][i] != 0:

new[j][k] = new[j][k] - l1[j][i] * new[i][k]   

for i in range(0,n-1):

for j in range(0,n-i-1):

if l2[n-1-i-j-1][n-1-i] != 0:

for k in range(0,n):

new[n-1-i-j-1][k] = new[n-1-i-j-1][k] - l2[n-1-i-j-1][n-i-1] * new[n-1-i][k]

for i in range(0,n):

for j in range(0,n):

new[i][j] = new[i][j] / l3[i]

return new

x1 = gauss(matrix1)

x2 = gauss(matrix2)

x3 = gauss(matrix3)

print (x1)

print (x2)

print (x3)

求逆矩阵怎么用python源代码实现

加上头文件

from numpy import *

矩阵有几个特有的属性：

(a) .T －－ 返回自身的转置

(b) .H －－ 返回自身的共轭转置

(c) .I －－ 返回自身的逆矩阵

(d) .A －－ 返回自身数据的2维数组的一个视图

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