狼追兔子问题 用C语言编程

#include stdio.h

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void main()

{

bool dong[10]={0};

int lang=0;

for(int i=0;i100;i++)

{

dong[lang]=true;

lang++;

lang+=i;

lang=lang%10;

}

for(int i=0;i10;i++)

if(!dong[i]) printf("兔子可能在第%d洞中\n",i+1);

}

狼追兔子的c语言实现

其实不用循环1000次的，我有个思路

按照兔子给出的算法，把得出的结果存到一个单链表或者数组中（用来检索重复），

然后定义一个数据结构存储每一个过程，还要定义一个单链表或者数组来存储每一个过程，如果发现某一个过程，和以前的出现过的某个过程重复就可以退出循环了，因为一个过程总是可以由它的前一个过程推算出来的。

最后，结果集合中不包含的洞数就是结果了。

说具体点就是

1＋2 是 第一个过程 3 是第一个结果

3＋3 是 第二个过程 6 是第二个结果

6＋4 是 第三个过程 10 是第三个结果

0＋5 是 第4个过程 5 是第4个结果

5＋6 是 第5个过程 1 是第5个结果

1+7 是 第6个过程 8 是第6个结果

8＋8 是 第7个过程 6 是第7个结果

6＋9 是 第8个过程 5 是第8个结果

5＋0 是 第9个过程 5 是第9个结果

5＋1 是 第10个过程 6 是第10个结果

以此类推

由上可知，用来存储过程的结构体只需要包含一个加数成员

和一个被加数成员，如果两个过程的加数成员和被加数成员都是相同的，就可以退出循环了，这样最多循环10×10次就可以得到结果，实际上只需要20次，就会退出循环。

过程中加数成员和被加数成员以及结果一旦超过或者等于10，就减去10，这是因为按照兔子的算法，11＋12和1＋2根本就是一样的。

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题

基于高阶常微分方程模型饿狼追兔问题分析

;type=1

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基于高阶常微分方程模型饿狼追兔问题分析

朱云龙1，赵娜2，孙利杰1，王勃1，程明1，白海滔1，

王建1，李开1，赵福兴1，王铁柱1

1 辽宁工程技术大学采矿工程系，辽宁阜新（123000）

2 辽宁工程技术大学生物工程（食品科学）系，辽宁阜新（123000）

E-mail：zyl275887234@163.com

摘要：利用高阶常微分模型饿狼是否能追上兔子。首先，建立狼和兔子的运动轨迹模型，

兔子是向正北方向的洞穴直线跑去，狼沿曲线追去。接着，利用matlab 画出狼和兔子的运

动轨迹图形。然后，利用解析方法求解x=0时y 的值，依次来判断狼是否能够追上兔子。最

后，再用数值微分方法求解x=0时y 的值判断狼是否能够在兔子进洞之前将其擒获，美餐一

顿。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹

道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可

以化为求常微分方程的解。

关键词：高阶常微分；数值微分；数学模型

中图分类号：O172.1

1 引言

在我们现实生活中，有很多追击问题，如赛车比赛，田径比赛，鹰抓兔子等等追击现象。

那么这些问题是否成立，是否能成功呢？再次将要论述与验证狼和兔子的模型，看看是否能

追的上，并通过MATLAB 画出狼和兔子曲线[1]。在我们实现实生活中有很多地方要用到这

些追击模型。虽然狼无暇顾及兔子的洞穴所在，并计算怎样才能追上兔子，可它丢掉的仅仅

是一顿美餐而已，再寻其它猎物即可。可是我们人类就不同了，如在军事上，跟中导弹追击

敌机问题，恰与饿狼追兔问题模型相似。根据追击者和被追击者相差距离和被追击者得逃亡

范围，通过计算，适当调整速度，即可追上。倘若不假思索的追击，后果将不堪设想，失去

的将不仅仅时一顿每餐那么简单。所以，通过本模型分析将要得到清晰的MATLAB 曲线，

使结果明确的显现在计算机上，一目了然，希望此模型能用到我们现实生活中，得到一定用

处，提高国民经济和科学技术的应用。

2 问题的提出

神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔

跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。这里就讨论一对老冤家的追逃问题，快速奔跑

的狼能否追上不远处有洞穴的兔子。

有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100 米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起

起跑，兔子往正北60 米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是

兔子的两倍。试建立数学模型[2]研究以下问题：

（1）根据已知条件，建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，判断兔子能否安全回到巢穴。

（4）用数值方法求解，判断兔子能否安全回到巢穴。

3 模型建设

假设狼不知道兔子远处是否有洞穴，故狼的速度方向应该始终是朝向兔子，而兔子是不

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断奔跑的，所以狼的速度方向不断的改变，运动轨迹应该是一条光滑的曲线。设兔子的速度

为v，以t=0 时刻兔子的位置为原点，兔子朝向狼的方向为x 轴，逆时针旋转90 度的方向

为y 轴方向建立平面直角坐标系，t 时刻狼的坐标为（x,y），兔子的坐标为（0，vt），狼的速

度方向与x 轴负半轴的夹角为θ。

3.1 问题的分析与模型建立

3.3.1 建立狼的运动轨迹微分模型

作出狼的运动轨迹草图如下：

图1 狼的运动轨迹草图

Figure 1 the trajectories of a wolf plan

t 时刻y 对x 求导等于曲线在点（x，y）处的切线斜率，即

Y= − tanθ （1）

又由于狼的运动方向指向兔子，所以，

x

vt − y

tanθ = = − tanθ

dx

dy

（2）

由（1）和（2）得，

x

y vt

dx

dy −

=

（3）

将狼的速度分解成为沿x 轴和y 轴方向，即x v =

dx

dt ，

y

v dy

dt

=

，所以，

2

2 2

(2v)

dt

dx

dt

dy = ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ ⎛ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

（4）

由（3）式可得，

y = x dx

dy

+ vt （5）

两边对t 求导得，

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v

dt

dx

dx

x d y

dx

dy

dt

dx

dx

dy = ∗ + ∗ + 2

2

（6）

整理，得

dt

dx

dx

x d y ∗ 2

2

= −v （7）

将（4）式左右两边同乘以

2 dt

dx

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

，得

2 dy

dx

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+1=

2

2 4 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛

dx

v dt （8）

由（7）、（8）两式得

2

2

dx

d y

v

x

dx

dt = −

（9）

（9）式即为狼的运动轨迹微分模型。

3.3.2 画出兔子与狼的运动轨迹图形

根据上述微分方程，利用 matlab 软件中的ode45 函数即可求出二阶微分方程（9）中x

值对应的y 值，再利用绘图函数plot 即可画出狼的运动轨迹图像[3]。程序如下：

先建立matlab 函数：

function f=odefun(x,y)

f(1,1)=y(2);

f(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

再在主程序中输入下列程序：

t=100:-0.1:0.1;

y0=[0 0];

[T,Y] = ode45('odefun',t,y0);

plot(T,Y(:,1),'-')

即可得到如下曲线，即为狼的运动轨迹图形。

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图2 狼的运动轨迹图形

Figure 2 the trajectories of a wolf graphics

兔子的运动轨迹是一条从（0，0）点到其洞穴（0，60）的直线，所以，再在主程序中

输入以下程序即可将兔子和狼的运动轨迹绘制出来。

x1=[0 0];

y1=[0 60];

plot(T,Y(:,1),'-',x1,y1,’r’)

绘制出来的图像如下图：

（其中蓝色代表狼的运动轨迹，红色代表兔子的运动轨迹）

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图3 狼和兔子的运动轨迹图形

Figure 3 wolves and rabbits trajectories graphics

4 模型求解

4.1 用解析法求解兔子能否安全回到巢穴

判断狼是否能追上兔子，可先假设没有洞穴，看看狼再什么位置可以追上兔子，若追上

时兔子运动的距离已经超过60 米，那就是说再狼追上兔子之前，兔子已经安全的逃回洞穴

之中。用解析法判断狼是否能追上兔子的具体过程[4]如下：

可假设

p dx

dy

= ，则

2

2

dp d y

dx dx

= ，那么（9）式可变为

2

2 2 4 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ = ⎛− ∗

dx

dp

v

p v x （10）

整理得

2

2 2 4 1 ⎟⎠

⎞

⎜⎝

+ = ⎛

dx

p v dp （11）

dx

p2 +1 = 2x dp （12）

x

dx

p

dp

2 1 2

=

+

（13）

再对等式两边积分，得

( ) '

1 ln p + p2 +1 = ln x + C （14）

也即

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p + p2 +1 =C x 1 （15）

因为x=100 时，狼的速度方向沿y 轴负向，所以此时p=0，可求得1 C =

1

10

(15)式可变为

p + p2 +1 = x

10

1

（16）

两边平方

100

2 p2 +1+ 2 p p2 +1 = x （17）

移项

2 p p2 +1 = (2 1)

100

x − p2 +

（18）

再次平方

(2 1)

100

4 4 1 2

10000

4 4 4 2 2

2

p4 + p2 = x + p + p + − x p + （19）

整理

( ) 1 0

100

4 2

10000

2

2

x − p + x + =

（20）

求p

2

2

2 10

10

100 2

100

2

100

1

4 10000 ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

− = + − = −

+

=

x

x

x

x

x

x

p

（21）

x

p x 5

20

= − （22）

因为

p dx

dy

= ，所以（22）式可变为

x

x

dx

dy 5

20

= − （23）

两边积分即可得到y 与x 的函数关系式

3 1

2 2

2

1 10

30

y = x − x +C （24）

因为x=100 时，y=0，所以

3 1

2 2

2

0 1 100 10 100

30

= ∗ − ∗ +C

解得

2 C =

200

3

=66.67

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故（24）式可变为

3 1

1 2 10 2 200

30 3

y = x − x + （25）

令x=0，可求得y=

200

3

=66.67

因为y=66.6760，所以在狼追上兔子之前，兔子已经安全逃回到洞穴之中，饿狼只能

干瞪眼了。

4.2 用数值方法求解兔子能否安全回到巢中

前面已经用解析法判断出狼并没有追上兔子，那么我们现在再用数值微分法求出（9）

式中x=0 时y 的值，再将y 值与60 比较，若y 大于60，则也说明在兔子安全逃回洞穴之前，

狼没有追上兔子，下面就是用数值微分法并借助matlab 软件判断狼是否能够追上兔子的方

法：

利用matlab 软件中的ode45 函数求出二阶常微分方程的初值，并求出x=100 时y 的值

即可判断出狼是否能够追上兔子[5]。具体matlab 程序如下：

先建立odefun 函数：

function f=odefun(x,y)

f(1,1)=y(2);

f(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

再在主程序中输入如下程序：

t=100:-0.1:0.1;

y0=[0 0];

[T,Y] = ode45('odefun',t,y0);

n=size(Y,1);

Y(n,1)

即可输出结果：

ans =63.5007

x=0.1 时，y=63.500760,而当x=0 时y63.5007 当然也大于60，所以狼在兔子进洞之前

并没有能够追上兔子，一顿美餐就这样从它眼前没了。

5 结果分析

从图 2 可以粗略的看出x=0 时y 的值大于60，用数学解析法也算出y 值等于66.67 大于

60，用数值微分法算出来的y 值也大于60。所以，从种种计算方法表明，在兔子就如洞穴

之前，狼时无法将其擒获的。

如果换个角度考虑，假设狼知道兔子的洞穴所在，直接跑向其洞穴处守洞待兔。那么根

据勾股定理[6]，狼运动的距离s= 6 0 2 + 1 0 0 2 =116.6m，此时兔子运动距离为s/2=58.360。

也就是说兔子还没有逃进洞里，而狼已经再其洞口等待，那么兔子就不敢进洞，只要兔子没

法进洞，狼的速度是兔子的2 倍，狼就可将其擒获。可惜，饥饿而又贪婪的狼只想着怎么样

快速的追上兔子美餐一顿，哪里有时间而且也不会进行这么复杂的计算，并且很多情况下狼

是不知道兔子的洞穴所在，所以，狼只能在快要追到兔子的时候看着兔子溜掉而干瞪眼了

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