独木桥（C++，贪心）-创新互联

（ps：虽说这题是我在贪心类型里面做到的，但我完全没明白到底哪里是贪心）

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战争已经进入到紧要时间。你是运输小队长，正在率领运输部队向前线运送物资。运输任务像做题一样的无聊。你希望找些刺激，于是命令你的士兵们到前方的一座独木桥上欣赏风景，而你留在桥下欣赏士兵们。士兵们十分愤怒，因为这座独木桥十分狭窄，只能容纳 1 1 1 个人通过。假如有 2 2 2 个人相向而行在桥上相遇，那么他们 2 2 2 个人将无法绕过对方，只能有 1 1 1 个人回头下桥，让另一个人先通过。但是，可以有多个人同时呆在同一个位置。

题目描述

突然，你收到从指挥部发来的信息，敌军的轰炸机正朝着你所在的独木桥飞来！为了安全，你的部队必须撤下独木桥。独木桥的长度为 L L L，士兵们只能呆在坐标为整数的地方。所有士兵的速度都为 1 1 1，但一个士兵某一时刻来到了坐标为 0 0 0 或 L + 1 L+1 L+1 的位置，他就离开了独木桥。

每个士兵都有一个初始面对的方向，他们会以匀速朝着这个方向行走，中途不会自己改变方向。但是，如果两个士兵面对面相遇，他们无法彼此通过对方，于是就分别转身，继续行走。转身不需要任何的时间。

由于先前的愤怒，你已不能控制你的士兵。甚至，你连每个士兵初始面对的方向都不知道。因此，你想要知道你的部队最少需要多少时间就可能全部撤离独木桥。另外，总部也在安排阻拦敌人的进攻，因此你还需要知道你的部队最多需要多少时间才能全部撤离独木桥。

输入格式

第一行共一个整数 L L L，表示独木桥的长度。桥上的坐标为 1 , 2 , ⋯ , L 1, 2, \cdots, L 1,2,⋯,L。

第二行共一个整数 N N N，表示初始时留在桥上的士兵数目。

第三行共有 N N N 个整数，分别表示每个士兵的初始坐标。

输出格式

共一行，输出 2 2 2 个整数，分别表示部队撤离独木桥的最小时间和大时间。 2 2 2 个整数由一个空格符分开。

样例 #1 样例输入 #1

4
2
1 3

样例输出 #1

2 4

提示

对于 100 % 100\% 100% 的数据，满足初始时，没有两个士兵同在一个坐标， 1 ≤ L ≤ 5 × 1 0 3 1\le L\le5\times 10^3 1≤L≤5×103， 0 ≤ N ≤ 5 × 1 0 3 0\le N\le5\times10^3 0≤N≤5×103，且数据保证 N ≤ L N\le L N≤L。

解题思路：

注意点1：士兵只能位于整数位置，可以有多个士兵位于同一位置，士兵相遇时会改变方向

也就是说，士兵在同一点时不一定改变自己的方向，只有方向不同时才会改变方向

接下来说明几种特殊情况，当士兵间距为1相向而行时，士兵会在1s后回到自己的原位，但是方向相反

当一名士兵遇到多名士兵时，多名士兵会同时反向，由此可见，其实在同一点的若干士兵可以看做一个士兵

注意点2：桥不应该被理解为线段，而应该被理解为点的集合，桥长代表点的数量，0 和 L+1点代表撤离点（区别于端点），相邻两点间距为1

接下来对解题思路进行说明

（1）最短时间：

最短时间 = max{士兵到撤离点距离的绝对值}

求最短时间时，只需要让士兵向着离自己最近的一端前进即可，很容易证明

（2）最长时间：

<1>如果只有一名士兵，最长时间是其到远端撤离点的距离

<2>有多名士兵，为了说明方便，我们把最左端士兵称为left，最右端士兵称为right，设 L 1 = r i g h t − l e f t L_1 = right - left L1=right−left那么有最长时间 = L 1 L_1 L1 + max{left, L + 1 - right}

接下来进行证明

我们只需要考虑 L 1 L_1 L1范围内的情况，至于为什么emmm，因为来到这个范围以外的士兵行为是单一的，后续处理就是简单的“+ max{left, L + 1 - right}"，这点不予证明

如果有两名士兵，显然让他们对撞才是最长时间 L 1 L_1 L1

为了之后便于理解，这里说明一下，会发生对撞的两名士兵，从出发到再次回到起点，所需时间即为二者间距

如果有三名士兵，现在证明最长时间为 L 1 L_1 L1

两侧的士兵一定要向中间走，这是显然的

假设第三名士兵（之后称为middle）在中点右侧，现在讨论他的起始方向

middle若起始向左走，那么一定在中点左侧与left对撞，之后再与right对撞

设 D 1 = m i d d l e − l e f t D_1 = middle - left D1=middle−left， D 2 = r i g h t − m i d d l e D_2 = right - middle D2=right−middle

则 T r i g h t = D 1 = m i d d l e − l e f t < r i g h t − l e f t = L 1 T_{right} = D_1 = middle - left< right - left = L_1 Tright=D1=middle−left

T m i d d l e = D 1 2 + D 2 + D 1 2 = D 1 + D 2 = r i g h t − m i d d l e = L 1 T_{middle} = \frac{D_1}{2} + D_2 + \frac{D_1}{2} = D_1 + D_2 = right - middle = L_1 Tmiddle=2D1+D2+2D1=D1+D2=right−middle=L1

T l e f t = D 1 2 + D 2 + D 1 2 = D 1 + D 2 = r i g h t − m i d d l e = L 1 T_{left} = \frac{D_1}{2} + D_2 + \frac{D_1}{2} = D_1 + D_2 = right - middle = L_1 Tleft=2D1+D2+2D1=D1+D2=right−middle=L1

middle若起始向右走，则在middle与right对撞后，middle会再与left对撞

则 T r i g h t = D 2 2 + D 1 + D 2 2 = L 1 T_{right} = \frac{D_2}{2} + D_1 + \frac{D_2}{2} = L_1 Tright=2D2+D1+2D2=L1

T m i d d l e = D 2 2 + D 1 + D 2 2 = L 1 T_{middle} = \frac{D_2}{2} + D_1 + \frac{D_2}{2} = L_1 Tmiddle=2D2+D1+2D2=L1

T r i g h t = D 2 < L 1 T_{right} = D_2< L_1 Tright=D2

综上所述，最长时间为 L 1 L_1 L1

上面的没看懂也没有关系，现在我要说的才是最关键的两名士兵对撞你可以看作他们穿过了对方为什么呢？想一下你就明白了，无论是位置还是方向，能不能穿过对方都没有任何区别是不是豁然开朗了？最长时间还需要证明吗？

实现代码如下：

#include#includeusing namespace std;

int main() {int L, N, soldier, min, max, min_middle;
	double middle;//中点不一定是整数
	cin >>L >>N;
	min = L + 1, middle = double(L + 1) / 2, min_middle = L + 1, max = 0;
	for (int i = 0; i< N; i++) {cin >>soldier;
		min >soldier ? min = soldier : min = min;
		max< soldier ? max = soldier : max = max;		
		abs(middle - min_middle) >abs(middle - soldier) ? min_middle = soldier : min_middle = min_middle;
	}
	if (min_middle< L + 1 - min_middle) cout<< min_middle<< ' ';
	else cout<< L + 1 - min_middle<< ' ';
	if (min< L + 1 - max) cout<< L + 1 - min<< endl;
	else cout<< max<< endl;
	return 0;
}

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本文标题：独木桥（C++，贪心）-创新互联
标题路径：http://azwzsj.com/article/cddspi.html

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